Primitiva funktioner


Ex: Anta att vi vet att f'(x) = cos(x).
Vad är f?

Vi kan välja f(x) = sin(x) + C för vilken konstant C som helst.
Dessa är enda möjligheterna.

Sats:
Anta att f'(x) = g'(x) på något öppet intervall. Då finns en konstant C så att f(x) = g(x) + C på detta intervall.

Bevis:
Om f' = g' är (f - g)' = 0
Det betyder att f - g är konstant så f(x) - g(x) = C => f(x) = g(x) + C.


Ex:
Om F'(x) = f(x) så säger vi att F är primitiv funktion till f.

Sats:
Om F är en primitiv function till f och G är en primitiv funktion till g så gäller

  • F + G är en primitiv funktion till f + g.
  • cF är en primitiv funktion till cf om c är en konstant.

Ex:
Hitta alla prim. funktioner till f(x) = Zx + 3/x + e^x, x > 0.

Vi får F(x) = x^2 + 3 * ln(x) + e^x + C där C är en godtycklig konstant.


Primitiv = Ursprunglig.
F -> f
f -> f'

Mängden av alla primitiva funktioner till f(x) på ett intervall skrivs ∫f(x)dx.
Vi skriver t.ex. ∫2x + 3/x + e^x dx = x^2 + 3*ln(x) + e^x + C.

∫a^x dx = (a^x)/ln(a) + C.


Ex:
∫cos(x) dx = sin(x) + C
∫1/cos^2(x) dx = tan(x) + C
∫x^a dx = (x^(a + 1))/(a + 1) + C om a != -1

Sats:
Låt a, b vara konstanter och a != 0. Om F'(x) = f(x) så gäller att ∫f(ax + b) dx = (F(ax+b))/a) + C.

Bevis:
Ofta bevisas satser som denna genom att derivera.
(F'(ax + b) / a) * a = F'(ax + b) = f(ax + b).


Ex:
∫ cos(3x) dx = (sin(3x)/x) + C
∫ 1/(cos^2(x + 1)) dx = tan(x + 1) + C
∫ 1/(1 + 4X^2) dx = ∫1 / (1 + 2X)^2 dx = arctan(2x) / 2 + C
∫ 1/(1 + x^2) dx = arctan(x) + C

Sätt G(x) = arctan(2x)/2 + C.
Då är G'(x) = (((1/(1 + (2x)^2)) * 2) / 2) = 1/(1 + 4x^2)

Edit

Pub: 20 Jan 2020 13:02 UTC

Views: 25